Additionssätze

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Die Additionssätze (auch Additionsregel genannt) sind ein Konzept in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, das sich mit der Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Ereignissen beschäftigt, die miteinander verbunden oder disjunkt sind. Die Additionssätze beschreiben, wie man die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass mindestens eines von mehreren möglichen Ereignissen eintritt.

Es gibt zwei Hauptarten von Additionssätzen:

1. Additionssatz für disjunkte Ereignisse

Disjunkte Ereignisse (auch unvereinbare Ereignisse genannt) sind Ereignisse, die sich gegenseitig ausschließen, d.h., sie können nicht gleichzeitig eintreten. Ein klassisches Beispiel für disjunkte Ereignisse sind zwei konkurrierende Ergebnisse bei einem Würfeln, wie das Ereignis „eine 2 werfen“ und „eine 5 werfen“.

Additionssatz für disjunkte Ereignisse:

Wenn zwei Ereignisse AA und BB disjunkt sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines dieser beiden Ereignisse eintritt, die Summe der Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse: P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B)

  • P(A)P(A): Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis AA eintritt
  • P(B)P(B): Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis BB eintritt
  • P(A∪B)P(A \cup B): Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der Ereignisse AA oder BB eintritt

Beispiel:

Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Würfeln eine 2 geworfen wird, P(A)=16P(A) = \frac{1}{6} ist, und die Wahrscheinlichkeit, dass eine 5 geworfen wird, P(B)=16P(B) = \frac{1}{6}, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass entweder eine 2 oder eine 5 geworfen wird: P(A∪B)=P(A)+P(B)=16+16=26=13P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

2. Additionssatz für nicht-disjunkte Ereignisse

Nicht-disjunkte Ereignisse (auch vereinbare Ereignisse genannt) sind Ereignisse, die gleichzeitig eintreten können. Ein Beispiel für nicht-disjunkte Ereignisse wäre das Werfen einer Zahl, die sowohl gerade als auch kleiner als 4 ist (d.h. eine 2).

Additionssatz für nicht-disjunkte Ereignisse:

Wenn zwei Ereignisse AA und BB nicht disjunkt sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der beiden Ereignisse eintritt, die Summe der Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse, abzüglich der Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse gleichzeitig eintreten: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)

  • P(A∩B)P(A \cap B): Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse gleichzeitig eintreten.

Beispiel:

Angenommen, die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Würfeln eine gerade Zahl geworfen wird, beträgt P(A)=36=12P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} (da die geraden Zahlen 2, 4 und 6 sind), und die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als 4 geworfen wird, beträgt P(B)=26=13P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} (da die Zahlen 1, 2 und 3 kleiner als 4 sind).

Die Wahrscheinlichkeit, dass entweder eine gerade Zahl oder eine Zahl kleiner als 4 geworfen wird, ist: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)

Zunächst müssen wir P(A∩B)P(A \cap B) berechnen, die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse gleichzeitig eintreten, also eine gerade Zahl, die kleiner als 4 ist. Das sind die Zahlen 2, also: P(A∩B)=16P(A \cap B) = \frac{1}{6}

Nun setzen wir die Werte in die Formel ein: P(A∪B)=12+13−16P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6}

Um diese Brüche zu addieren, müssen wir einen gemeinsamen Nenner finden: P(A∪B)=36+26−16=46=23P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Die Wahrscheinlichkeit, dass entweder eine gerade Zahl oder eine Zahl kleiner als 4 geworfen wird, beträgt also 23\frac{2}{3}.

Zusammenfassung der Additionssätze:

  1. Additionssatz für disjunkte Ereignisse:
    • P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B)
    • Gilt, wenn AA und BB sich gegenseitig ausschließen (können nicht gleichzeitig eintreten).
  2. Additionssatz für nicht-disjunkte Ereignisse:
    • P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)
    • Gilt, wenn AA und BB gleichzeitig eintreten können (also sich überschneiden).

Die Additionssätze sind ein grundlegendes Werkzeug in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, um die Wahrscheinlichkeit von verschiedenen möglichen Ergebnissen zu berechnen, wenn mehrere Ereignisse in Betracht gezogen werden.

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