Black-Scholes-Modell
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Das Black-Scholes-Modell ist ein mathematisches Modell, das entwickelt wurde, um den Fairen Preis von Optionen (insbesondere europäischen Optionen) zu berechnen. Es wurde 1973 von Fischer Black, Myron Scholes und später mit Unterstützung von Robert Merton veröffentlicht und hat sich seitdem als eines der bekanntesten Modelle zur Optionsbewertung etabliert.
Das Modell geht davon aus, dass die zugrunde liegenden Aktienkurse sich stochastisch (zufällig) nach einer geometrischen Brownschen Bewegung entwickeln und dass Märkte effizient sind, d. h. es gibt keine Arbitrage-Möglichkeiten.
Formel des Black-Scholes-Modells
Die grundlegende Formel für den Preis einer europäischen Call-Option (das Recht, eine Aktie zu einem bestimmten Preis zu kaufen) lautet: C=S0⋅N(d1)−K⋅e−rT⋅N(d2)C = S_0 \cdot N(d_1) – K \cdot e^{-rT} \cdot N(d_2)
Die Formel für den Preis einer europäischen Put-Option (das Recht, eine Aktie zu einem bestimmten Preis zu verkaufen) lautet: P=K⋅e−rT⋅N(−d2)−S0⋅N(−d1)P = K \cdot e^{-rT} \cdot N(-d_2) – S_0 \cdot N(-d_1)
Erklärung der Variablen:
- CC = Preis der Call-Option
- PP = Preis der Put-Option
- S0S_0 = Aktueller Kurs der zugrunde liegenden Aktie
- KK = Ausübungspreis (Strike-Preis) der Option
- rr = Risikofreier Zinssatz (z. B. Zinsen für Staatsanleihen)
- TT = Restlaufzeit der Option in Jahren
- N(d)N(d) = Die kumulierte Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
- d1d_1 und d2d_2 sind Berechnungen, die sich wie folgt ergeben:
d1=ln(S0/K)+(r+σ22)⋅Tσ⋅Td_1 = \frac{\ln(S_0 / K) + (r + \frac{\sigma^2}{2}) \cdot T}{\sigma \cdot \sqrt{T}} d2=d1−σ⋅Td_2 = d_1 – \sigma \cdot \sqrt{T}
- σ\sigma = Volatilität der zugrunde liegenden Aktie (also die Schwankung des Aktienkurses)
- ln(S0/K)\ln(S_0 / K) = Der natürliche Logarithmus des Verhältnisses zwischen dem aktuellen Aktienkurs und dem Strike-Preis
Interpretation der Formel
- Der Call-Preis (C) ist der Wert, den man zahlen muss, um das Recht zu erhalten, eine Aktie zu einem bestimmten Preis zu kaufen.
- Der Put-Preis (P) ist der Wert, den man zahlen muss, um das Recht zu erhalten, eine Aktie zu einem bestimmten Preis zu verkaufen.
- N(d1)N(d_1) und N(d2)N(d_2) sind Wahrscheinlichkeiten, die in der Standardnormalverteilung enthalten sind und die Wahrscheinlichkeit des Ausübens der Option unter bestimmten Bedingungen angeben.
Schrittweise Berechnung eines Optionspreises
- Ermittlung der Variablen: Bestimmen Sie die Werte für den aktuellen Aktienkurs (S0S_0), den Strike-Preis (KK), die Restlaufzeit (TT), den risikofreien Zinssatz (rr) und die Volatilität (σ\sigma).
- Berechnung der Werte von d1d_1 und d2d_2: Verwenden Sie die oben genannten Formeln, um die Werte von d1d_1 und d2d_2 zu berechnen.
- Berechnung des Optionspreises: Setzen Sie die berechneten Werte in die Formel für den Call- oder Put-Preis ein.
Beispiel zur Anwendung des Black-Scholes-Modells
Angenommen, wir haben die folgenden Werte:
- Aktueller Aktienkurs S0S_0 = 100 €
- Strike-Preis KK = 95 €
- Risikofreier Zinssatz rr = 5% (0,05)
- Volatilität σ\sigma = 20% (0,20)
- Restlaufzeit TT = 1 Jahr
Schritt 1: Berechnung von d1d_1 und d2d_2
d1=ln(100/95)+(0,05+0,222)⋅10,2⋅1=0,0513+0,020,2=0,355d_1 = \frac{\ln(100 / 95) + (0,05 + \frac{0,2^2}{2}) \cdot 1}{0,2 \cdot \sqrt{1}} = \frac{0,0513 + 0,02}{0,2} = 0,355 d2=0,355−0,2⋅1=0,355−0,2=0,155d_2 = 0,355 – 0,2 \cdot \sqrt{1} = 0,355 – 0,2 = 0,155
Schritt 2: Berechnung des Call-Preises CC
Nun können wir die Werte in die Black-Scholes-Formel für den Call-Preis einsetzen: C=100⋅N(0,355)−95⋅e−0,05⋅N(0,155)C = 100 \cdot N(0,355) – 95 \cdot e^{-0,05} \cdot N(0,155)
Angenommen, N(0,355)N(0,355) = 0,638 und N(0,155)N(0,155) = 0,561, dann erhalten wir: C=100⋅0,638−95⋅e−0,05⋅0,561C = 100 \cdot 0,638 – 95 \cdot e^{-0,05} \cdot 0,561 C=63,8−95⋅0,9512⋅0,561C = 63,8 – 95 \cdot 0,9512 \cdot 0,561 C=63,8−50,6=13,2 €C = 63,8 – 50,6 = 13,2 \, \text{€}
Der Preis der Call-Option beträgt also 13,20 €.
Vor- und Nachteile des Black-Scholes-Modells
✅ Vorteile:
- Sehr weit verbreitet und akzeptiert für die Bewertung von Optionen.
- Bietet eine mathematisch fundierte Grundlage zur Bestimmung des fairen Werts von Optionen.
- Einfach anzuwenden, wenn die Eingabewerte verfügbar sind.
❌ Nachteile:
- Geht von idealen Annahmen aus, die nicht immer zutreffen (z. B. keine Transaktionskosten, konstante Volatilität).
- Funktioniert nur für europäische Optionen, die nur am Fälligkeitstag ausgeübt werden können, und nicht für amerikanische Optionen.
- Volatilität ist schwierig genau vorherzusagen, was zu Fehlschätzungen führen kann.
Fazit
Das Black-Scholes-Modell ist ein nützliches und weit verbreitetes Verfahren zur Bewertung von europäischen Optionen, das die zugrunde liegende Dynamik von Aktienkursen berücksichtigt. Trotz seiner Einschränkungen bleibt es ein zentraler Bestandteil der Finanztheorie und wird von vielen Marktteilnehmern verwendet.
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